Fonksiyonlar Konu Anlatımlı

A. TANIM
A ¹ Æ ve B ¹
Æ olmak üzere, A dan B ye bir b bağıntısı
verilmiş olsun. A nın her elemanı B nin elemanlarıyla
en az bir kez ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya
fonksiyon denir. Fonksiyonlar f ile gösterilir.
" x Î
A ve y Î
B olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu f : A
B ya da x f(x)
= y biçiminde gösterilir.

<blockquote> <blockquote> </blockquote> </blockquote>

Yukarıda A dan B ye tanımlanan f
fonksiyonu
f = {(a, 1), (b, 1), (c, 2)..ç (d, 3)}
biçiminde de gösterilir.
Ü Her fonksiyon
bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı
fonksiyon olmayabilir.
Ü Görüntü kümesi
değer kümesinin alt kümesidir.
Ü s(A) = m ve
s(B) = n olmak üzere,

1. A dan B ye nm tane fonksiyon tanımlanabilir.
   
2. B den A ya mn tane fonksiyon tanımlanabilir.
   
3. A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon
   olmayan bağıntıların sayısı 2m . n –
   nm dir.
   
   

Ü Grafiği
verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını
anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular
fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı
kesi-yorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur.
B. FONKSİYONLARDA DÖRT İŞLEM
f ve g birer fonksiyon olsun.
<blockquote>
f : A
IR
g : B
IR
</blockquote>
olmak üzere,
<blockquote>
i) f ± g: A Ç
B IR
<blockquote>
(f ± g)(x) = f(x) ± g(x)
</blockquote>
ii) f . g: A Ç B
IR
<blockquote>
(f . g)(x) = f(x) . g(x)
</blockquote>

</blockquote>

C. FONKSİYON ÇEŞİTLERİ
1. Bire Bir Fonksiyon
Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri
de farklıysa fonksiyon bire birdir.
" x₁,
x₂ Î
A için, f(x₁) = f(x₂)iken
x₁ = x₂ ise f fonksiyonu
bire birdir.
Ü s(A) = m ve
s(B) = n (n ³ m)
olmak üzere,
<blockquote>
A dan B ye tanımlanabilecek bire bir
fonksiyonların sayısı

</blockquote>

2. Örten Fonksiyon
Görüntü kümesi değer kümesine eşit
olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir.
f : A
B
f(A) = B ise, f örtendir.
Ü s(A) = m olmak
üzere, A dan A ya tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların
sayısı
Ü m! = m . (m –
1) . (m – 2) ... 3 . 2 . 1 dir.

3. İçine Fonksiyon
Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.
Ü İçine
fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır.
Ü s(A) = m olmak
üzere, A dan A ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı
m^m – m! dir.

4. Birim (Etkisiz) Fonksiyon
Her elemanı kendisine eşleyen
fonksiyona birim fonksiyon denir.
f : IR
IR
f(x) = x
birim (etkisiz) fonksiyondur.
Ü Birim fonksiyon
genellikle I ile gösterilir.
5. Sabit Fonksiyon
Tanım kümesindeki bütün elemanları
değer kümesindeki bir elemana eşleyen fonksiyona sabit
fonksiyon denir.
Ü "x Î A ve c
Î
B için
<blockquote>
<blockquote>
f : A B
f(x) = c
</blockquote>
</blockquote>
fonksiyonu sabit fonksiyondur.
Ü s(A) = m, s(B)
= n olmak üzere,
A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir.

6. Çift ve Tek Fonksiyon
f : IR IR
f(– x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift
fonksiyondur.
f(– x) = – f(x) ise, f fonksiyonu tek
fonksiyondur.
Ü Çift
fonksiyonların grafikleri Oy eksenine göre simetriktir.
Ü Tek
fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.

D. EŞİT FONKSİYON
<blockquote>
<blockquote>
f : A
B
g : A
B
</blockquote>
</blockquote>
"x Î
A için f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir.

E. PERMÜTASYON FONKSİYONU
<blockquote>
<blockquote>
<blockquote>
f : A
A
</blockquote>
</blockquote>
</blockquote>
olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten
ise, f fonksiyonuna permütasyon fonksiyon denir.
A = {a, b, c} olmak üzere, f : A
A
f = {(a, b), (b, c), (c, a)}
fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup


F. TERS FONKSİYON
f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f nin tersi
olan f ^{– 1} de fonksiyondur.
Ü Uygun koşullarda,
f(a) = b Û f
^{– 1}(b) = a dır.
Ü f : IR
IR, f(x) = ax + b ise, f ^–
1(x) =
dır.

Ü

Ü (f ^{– 1})
^{– 1} = f dir.
Ü (f ^{– 1}(x))
^{– 1} ¹ f(x)
tir.
Ü y = f(x) in
belirttiği eğri ile y = f – 1(x) in belirttiği eğri
y = x doğrusuna göre simetriktir.
Ü B
Ì IR olmak üzere,

<blockquote> </blockquote>

Ü B Ì
IR olmak üzere,

<blockquote> </blockquote>

G. BİLEŞKE FONKSİYON
1. Tanım

f : A
B

g : B
C
olmak üzere, gof : A
C fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke
f diye okunur.

(gof)(x) = g[f(x)] tir.

2. Bileşke Fonksiyonun Özellikleri
i) Bileşke işleminin değişme
özelliği yoktur.

fog ¹
gof

Bazı fonksiyonlar için fog= gof olabilir. Fakat bu bileşke işleminin değişme özelliği olmadığını değiştirmez.

ii) Bileşke işleminin birleşme
özelliği vardır.
<blockquote>
<blockquote>
fo(goh) = (fog)oh = fogoh
</blockquote>
</blockquote>
iii)
foI = Iof = f
olduğundan I(x) = x fonksiyonu bileşke
işleminin birim (etkisiz) elemanıdır.
iv)
fof ^{– 1} = f ^{– 1}of = I
olduğundan f nin bileşke işlemine
göre tersi f – 1 dir.
v)
(fog) ^{– 1} = g ^{– 1}of ^{– 1} dir.