Konu: Fonksiyonlar Konu Anlatımlı Ptsi Mart 08, 2010 8:01 pm
A. TANIM A ¹ Æ ve B ¹ Æ olmak üzere, A dan B ye bir b bağıntısı verilmiş olsun. A nın her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonlar f ile gösterilir. " x Î A ve y Î B olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu f : A B ya da x f(x) = y biçiminde gösterilir.
<blockquote> <blockquote>
</blockquote> </blockquote>
Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu f = {(a, 1), (b, 1), (c, 2)..ç (d, 3)} biçiminde de gösterilir. Ü Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı fonksiyon olmayabilir. Ü Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir. Ü s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,
A dan B ye nm tane fonksiyon tanımlanabilir.
B den A ya mn tane fonksiyon tanımlanabilir.
A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı 2m . n – nm dir.
Ü Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı kesi-yorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur. B. FONKSİYONLARDA DÖRT İŞLEM f ve g birer fonksiyon olsun. <blockquote> f : A IR g : B IR </blockquote> olmak üzere, <blockquote> i) f ± g: A Ç B IR <blockquote> (f ± g)(x) = f(x) ± g(x) </blockquote> ii) f . g: A Ç B IR <blockquote> (f . g)(x) = f(x) . g(x) </blockquote>
</blockquote>
C. FONKSİYON ÇEŞİTLERİ 1. Bire Bir Fonksiyon Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir. " x1, x2 Î A için, f(x1) = f(x2)iken x1 = x2 ise f fonksiyonu bire birdir. Ü s(A) = m ve s(B) = n (n ³ m) olmak üzere, <blockquote> A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı
</blockquote>
2. Örten Fonksiyon Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir. f : A B f(A) = B ise, f örtendir. Ü s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı Ü m! = m . (m – 1) . (m – 2) ... 3 . 2 . 1 dir.
3. İçine Fonksiyon Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir. Ü İçine fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır. Ü s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı mm – m! dir.
4. Birim (Etkisiz) Fonksiyon Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir. f : IR IR f(x) = x birim (etkisiz) fonksiyondur. Ü Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir. 5. Sabit Fonksiyon Tanım kümesindeki bütün elemanları değer kümesindeki bir elemana eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir. Ü "x Î A ve c Î B için <blockquote> <blockquote> f : A B f(x) = c </blockquote> </blockquote> fonksiyonu sabit fonksiyondur. Ü s(A) = m, s(B) = n olmak üzere, A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir.
6. Çift ve Tek Fonksiyon f : IR IR f(– x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur. f(– x) = – f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur. Ü Çift fonksiyonların grafikleri Oy eksenine göre simetriktir. Ü Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.
D. EŞİT FONKSİYON <blockquote> <blockquote> f : A B g : A B </blockquote> </blockquote> "x Î A için f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir.
E. PERMÜTASYON FONKSİYONU <blockquote> <blockquote> <blockquote> f : A A </blockquote> </blockquote> </blockquote> olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna permütasyon fonksiyon denir. A = {a, b, c} olmak üzere, f : A A f = {(a, b), (b, c), (c, a)} fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup
F. TERS FONKSİYON f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f nin tersi olan f – 1 de fonksiyondur.
Ü Uygun koşullarda, f(a) = b Û f – 1(b) = a dır. Ü f : IR IR, f(x) = ax + b ise, f – 1(x) = dır.
Ü
Ü (f – 1) – 1 = f dir. Ü (f – 1(x)) – 1 ¹ f(x) tir. Ü y = f(x) in belirttiği eğri ile y = f – 1(x) in belirttiği eğri y = x doğrusuna göre simetriktir. Ü B Ì IR olmak üzere,
<blockquote>
</blockquote>
Ü B Ì IR olmak üzere,
<blockquote>
</blockquote>
G. BİLEŞKE FONKSİYON 1. Tanım
f : A B
g : B C olmak üzere, gof : A C fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur.
(gof)(x) = g[f(x)] tir.
2. Bileşke Fonksiyonun Özellikleri i) Bileşke işleminin değişme özelliği yoktur.
fog ¹ gof
Bazı fonksiyonlar için fog= gof olabilir. Fakat bu bileşke işleminin değişme özelliği olmadığını değiştirmez.
ii) Bileşke işleminin birleşme özelliği vardır. <blockquote> <blockquote> fo(goh) = (fog)oh = fogoh </blockquote> </blockquote> iii) foI = Iof = f olduğundan I(x) = x fonksiyonu bileşke işleminin birim (etkisiz) elemanıdır. iv) fof – 1 = f – 1of = I olduğundan f nin bileşke işlemine göre tersi f – 1 dir. v) (fog) – 1 = g – 1of – 1 dir.