I. İŞLEMA. TANIMBir kümenin herhangi iki elemanı, bu kümenin elemanı olan ya da olmayan bir elemana götüren kurala
ikili işlem veya kısaca
işlem denir.
İşlemler; + , – , : , x,
D ,
m ,
q ,
« gibi simgelerle gösterilir.
B. İŞLEMİN ÖZELİKLERİA = {a, b, c, d} kümesinde
5 işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmış olsun.
b 5 c nin sonucu bulunurken, başlangıç sütununda b, başlangıç satırında c bulunur. Bunların kesiştiği bölgedeki eleman, b 5 c nin sonucudur. Buna göre, b 5 c = a dır.
<blockquote>
A kümesinde
5 ve
« işlemleri tanımlanmış olsun. Buna göre, aşağıdaki
5 özeliği inceleyelim:</blockquote>
1. Kapalılık ÖzeliğiHer a, b
Î A için a
5 b nin sonucu A kümesinin bir elemanı ise, A kümesi
5 işlemine göre kapalıdır.
Başlangıç
satırındaki ve başlangıç sütunundaki elemanların sonuçlarının görüldüğü
kısımda A kümesine ait olmayan eleman yoksa A kümesi
5 işlemine göre kapalıdır.
2. Değişme ÖzeliğiHer a, b
Î A için, a
5 b = b
5 a ise,
5 işleminin değişme özeliği vardır.
Tabloda tüm elemanlar köşegene göre simetrik olmalıdır.
3. Birleşme ÖzeliğiHer a, b, c
Î A için a
5 (b
5 c) = (a
5 b)
5 c ise,
5 işleminin birleşme özeliği vardır.
Tabloda bunu analayabilmek için tüm durumları incelemek gerekir. Ama genelde değişme özeliği varsa, birleşme özeliğide vardır.
4. Birim (Etkisiz)
Eleman ÖzeliğiHer x
Î A için, x
5 e = e
5 x = x ise, e ye
5 işleminin etkisiz elemanı denir.
e
Î A ise,
5 işlemine göre A kümesi birim eleman özelliğine sahiptir.
Tablonun sonuçlar kısmında başlangıç sütununun ve başlangıç satırının görüldüğü sütunun ve satırın kesişimindeki eleman
etkisiz elemandır.
5. Ters Eleman Özeliği5 işleminin etkisiz elemanı e olsun.
" a Î A için, a
5 b = b
5 a = e olacak biçimde bir b varsa b elemanına
5 işlemine göre a nın tersi denir.
a nın tersi b ise genellikle b = a
–1 biçiminde gösterilir.
b
Î A ise,
5 işlemine göre A kümesi ters eleman özeliğine sahiptir.
C. MATEMATİK SİSTEMLER1. TanımA, boş olmayan bir küme olmak üzere,
« işlemi A da tanımlı olsun.
(A,
«) ikilisine matematik sistem denir.
2. GrupA
¹ Æ olmak üzere, A kümesinde tanımlı
« işlemi aşağıdaki dört koşulu sağlıyorsa, A kümesi
« işlemine göre bir gruptur.
A, « işlemine göre kapalıdır.
A üzerinde « işleminin birleşme özeliği vardır.
A üzerinde « işleminin birim (etkisiz) elemanı vardır.
A üzerinde « işlemine göre her elemanın tersi vardır.
Örneğin;
Doğal sayılar kümesi, toplama işlemine göre bir sistem oluşturur.
Bu sistem (N, +) ile gösterilir.
A üzerinde tanımlı « işleminin değişme özeliği de varsa (A, «) sistemi değişmeli gruptur. II. MODÜLER ARİTMETİKA. YENİ BİR TOPLAMA ÇEŞİDİSuat
ile Servet; saat 11 de, 6 saat sonra buluşmak üzere anlaşıyorlar. Saat
kadranı 12 bölmeli olduğu için, Suat ile Servet buluştuğunda saat 5 i
gösterir.
Burada yapılan toplama, tam sayılardaki toplamadan farklıdır. Bu ve benzeri işlemler “Modüler Aritmetik” dalının konusudur.
Burada 12 li saatte yeni bir toplama yapmış oluyoruz. Bu toplamayı “
Å” işaretiyle göstereceğiz.
Bu işlemi şu şekilde yazabiliriz.
11 + 6 = 17
<blockquote>
</blockquote>
Bu toplama işleminde, 12 sayısına, saat aritmetiğinin
“modülü” veya kısaca
“modu” denir.
Bir sayının verilen modüle göre dengi, bu sayının modüle bölümünden kalandır.Örnek 115
º 1 (mod 2)
35
º 3 (mod 4)
173
º 3 (mod 5)
1881
º 1 (mod 10) olur.
a º b (mod m) ise, <blockquote>
<blockquote>
</blockquote></blockquote>
olur. Yani, a nın m ye bölümünden kalan ile b nin m ye bölümünden kalan eşittir.Örnek 292 º 22 (mod 5) tir. Çünkü, 92 nin ve 22 nin 5 ile bölümünden kalanlar eşittir.
<blockquote>
<blockquote>
</blockquote></blockquote>
B. YENİ BİR ÇARPMA ÇEŞİDİBu
çarpma türünde verilen sayılar çarpılır. Çarpım mod’a bölünerek kalan
bulunur. Kalan, bu iki sayının verilen mod’a göre çarpımı olur. Çarpma
işlemini “
Ä” veya “
” işaretiyle göstereceğiz.
<blockquote>
n bir sayma sayısı ve k bir tam sayıa º b (mod m) x º y (mod m) olmak üzere,</blockquote>
a + x º b + y (mod m)
a – x º b – y (mod m)
a . x º b . y (mod m)
xn º yn (mod m)
k . a º k . b (mod m) olur.
C. GÜN BULMA Örnek 3Bir hemşire 9 günde bir nöbet tutmaktadır. Bu hemşire ilk nöbetini çarşamba günü tuttuğuna göre,
53. nöbetini hangi gün tutar? A) Pazar B) Salı C) Perşembe D) Cuma
Çözüm Hemşire 9 günde bir nöbet tuttuğuna göre, 53. nöbetini tutması için 51 . 9 gün geçmesi gerekir.
53
Ä 9
º 4
Ä 2
º 1 (mod 7)
Hemşire ilk nöbetini çarşamba günü tutuğuna göre 7 nin katı olan günler yine çarşambaya rastgelir.
Çarşamba
0 | Perşembe
1 | Cuma
2 | ... | Salı
6 |
olduğuna göre, hemşire 53. nöbetini perşembe günü tutar.
Cevap CD. DENKLİK SINIFIBirbirine
denk olan elemanların oluşturduğu kümelerin her birine “denklik
sınıfları” denir. Örneğin, doğal sayıların 5 e bölündüğündeki
kalanların kümesi (denklik sınıflarının kümesi);
{0, 1, 2, 3, 4} tür. Modülü de 5 tir.